用累試法直接在Z平面設計數字濾波器的研究

O 引 言
數字濾波器是數字信號處理的一個重要分支。所謂數字濾波器，是指輸入、輸出均為數字信號通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。數字濾波器和模擬濾波器具有同樣的濾波功能，但具有不同的實現方式。前者是利用有限精度算法來實現，精度高，穩定性強，實現靈活且不要求阻抗匹配，故在很多方面優于模擬濾波器；數字濾波器是利用離散系統特性對系統輸入信號進行加工和變換，改變輸入序列的頻譜或信號波形，讓有用頻率的信號分量通過，抑制無用的信號分量輸出。數字濾波器的分類有很多種，若從實現的網絡結構分類，可分為無限脈沖響應濾波器(IIR)和有限脈沖響應濾波器(FIR)兩種。從結構上看，IIR數字濾波器采用遞歸結構，FIR數字濾波器主要采用非遞歸的結構。本文從另外一個角度出發，直接在Z平面上選擇零、極點，這里稱為累試法。它既可以設計IIR型數字濾波器，也可以設計FIR型濾波器。

l 數字濾波器設計原理與方法
IIR濾波器設計方法通常是借助于模擬濾波器的設計方法進行的，先根據技術指標設計出模擬的低通濾波器，然后將模擬濾波器通過變換來設計數字濾波器，即把s平面映射到Z平面。這一類方法相對容易一些，這是因為模擬濾波器設計方法已經很成熟，設計出的濾波器具有運算項數少的優點。而對于FIR數字濾波器的設計方法，其一主要借助于加各種窗函數來實現，其二通過頻率采樣實現。

2 累試法設計數字濾波器的思路及原則
所謂累試法就是直接利用軟件，在Z平面上反復多次設置濾波器的零、極點，觀察幅頻、相位特性是否滿足預先設定的技術指標，如果滿足技術指標，則軟件輸出濾波器的系統函數和濾波器的結構，否則還繼續在Z平面上設置零、極點，直到滿足技術要求為止。這種設計濾波器的思想與成熟的設計方法是一致的，其實質是一個逐步逼近的過程。
根據文獻可知系統函數受系統的零、極點的影響。而零點在相應頻率處產生谷值，極點產生峰值。并且零點離單位圓越近陷落越深，極點離單位圓越近，則波峰越陡峭，同樣地，在相同位置設置的零點、極點越多，能達到的陡峭效果越好。根據這個思路，可以在Z平面上選擇零、極點，當系統幅度特性滿足設計指標，由零、極點來確定系統函數，從而確定濾波器的結構。按照這種方法設計應遵循以下的原則：
(1)設置零、極點時主要考慮濾波器是何種類型。如果設計FIR類型，不設置極點，只設置零點，這樣的濾波器為非遞歸型。一旦設置了極點有可能使濾波器變成遞歸型的。
(2)如果要濾除某一頻率，則可以在相應數字頻率處設置一零點；相反，則可以設置一極點。
(3)根據濾波器的穩定條件，極點應該設置在單位圓的內部。
(4)為了便于實現濾波器的結構，零、極點應該成對設置(零、極點在實軸上除外)，所謂成對設置就是一對零點應該是共軛的，對于極點同樣如此。
(5)要使某頻率處陷落越深或波峰越陡峭，則可以在相應位置多設置幾個零點或極點。
(6)所謂低頻是指在0附近，高頻這在π附近，數字頻率范圍為O～2π。
(7)零點z與其關于圓周對稱點具有相同的濾波效應。
(8)由于系統函數單位圓外的極點zk用代替不影響系統的幅頻特性，相頻特性有所不同。因此當遇到系統涉及單位圓外部極點時，可以用其單位圓內部鏡像極點代替。
(9)在同點分別選擇一個零點和一個極點，存在零極點對消現象，對系統沒有影響。