AES算法中S-box和列混合單元的優化及FPGA實現

　　由有限域的知識可知，復合域GF[(24)2]中每個元素都可表示為系數在GF(24)上的一次多項式bx+c。設定義有限域GF[(24)2]的乘法的二次不可約多項式x2+Ax+B，可驗證此時GF[(24)2]中的任一元素bx+c的乘逆元素是：

　　式中：(b2B+bcA+c2)-1是b2B+bcA+c2在GF(24)上的乘法逆元。各部分的邏輯實現過程可描述如下：

　　(1)有限域GF(28)到復合域GF[(24)2]映射。通過GF(28)上的即約多項式p(x)=x2+Ax+B構造線性變換T，根據式(8)將GF(28)的輸入x映射到GF(24)上的元素b，c：

　　式中：B是GF(24)上的常量元素；T是一個8×8的矩陣，矩陣的元素是0或1，T矩陣由B的取值決定；A取1，B取8；

　　(2)GF[(24)2]到GF(28)的逆映射。構造線性變換T-1，GF(24)上的逆p，q映射到GF(28)上的逆元素y，如式(10)所示。其中，線性變換T-1和乘法求遞步驟(1)中的線性變換T滿足：TT-1=E。

　　(3)通過域GF(24)上的運算，求b，C的逆p，q。首先構建GF(24)，q(x)=x4+x+1作為域GF(24)上的本源多項式，a(x)，d(x)，e(x)∈GF(24)。其中，a(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0，d(x)=d3x3+d2x2+d1x+d0，e(x)=e3x3+e2x2+e1x+e0定義域GF(24)上的加法、乘法、逆運算。

　　①加法為按位異或。

　　②乘法為多項式相乘后用q(x)取模，按公式e(x)=a(x)??d(x)mod q(x)進行運算；

　　③求逆根據公式公式a·a-1=1 mod q(x)，計算GF(24)上元素a的逆a-1；

　　構造GF(24)上的一次多項式bx+c，并利用上述GF(24)上的加法、乘法和求逆運算進行運算，得到GF(24)上的元素b，c的逆p，q，由式(7)可得：

　　p，q的計算是S-box中最復雜的邏輯運算，占用了大量的邏輯關系，關于p，q的分量元素計算是由上述算法中的分量元素代入式(13)、式(14)求得。

　　在這種設計方案中，求逆運算模塊中所選用的即約多項式p(x)和本源多項式q(x)不同，減低了求逆模塊的復雜度。根據理論分析，本文中用到的p(x)和q(x)不會減低AES算法的安全性。