史密斯圓圖及其與反射系數和阻抗的關系

了解史密斯圓圖的歷史和來龍去脈，以及它與反射系數的關系，使計算阻抗更容易。

史密斯圓圖是一種圖形化的射頻設計工具，它使我們能夠輕松計算將給定阻抗轉換為另一個阻抗所需的阻抗匹配網絡的組件。

早在20世紀30年代，史密斯圓圖就是高頻工作的主要工具。史密斯圓圖是電氣工程師菲利普·哈格·史密斯的發明。在當今的計算機中，這種圖形工具作為計算輔助工具的相關性可能已經降低；然而，它仍然是直觀可視化RF電路不同參數的有用工具。以至于所有射頻電路和系統模擬器以及測量設備，如網絡分析儀，都可以直接在史密斯圓圖上顯示其輸出。考慮到其廣泛使用，有必要對史密斯圓圖有深入的了解，以便能夠使用不同的射頻模擬器和測量設備。

史密斯圓圖對于通過手工計算設計阻抗匹配網絡也非常有幫助。使用史密斯圓圖設計阻抗匹配網絡是快速、直觀的，在實踐中通常足夠準確。

史密斯圓圖上的反射系數：一個性能良好的參數

史密斯圓圖基本上是反射系數的極坐標圖（以及我們稍后將討論的一些其他圖）?？紤]到史密斯圓圖的廣泛傳播，您可能會正確地猜測反射系數參數在基于射頻的工作中至關重要。使用低頻電路的模擬設計人員通常使用阻抗概念來分析和建模他們的電路。當頻率超過幾百兆赫時，阻抗的概念在一定程度上失去了用處。在較高頻率下，反射系數的概念可能更有用。

為了更好地理解反射系數的獨特特征，請考慮圖1中的圖表，該圖表顯示了以任意阻抗ZL終止的傳輸線。

圖1傳輸線以任意阻抗終止

傳輸線沿線不同點的輸入阻抗由方程1給出：

方程式1

其中Γ在（d）中，距離負載d處的反射系數如方程2所示：

方程式2

在方程2中，β是相位常數，Γ0是常見的負載反射系數，這導致了方程3：

方程式3

方程式3很容易理解；它給出了給定ZL的負載反射系數。例如，如果ZL=50+j50Ω，Z0=50Ω，我們得到Γ0=0.2+j0.4。方程式2顯示了反射系數如何沿線變化。如您所見，（d）中Γ的大小是恒定的，等于Γ0的大?。ň哂猩鲜鲋档?.447）；然而，其相位角隨距負載的距離呈線性變化。

例如，如果βd（稱為線路的電氣長度）為45°，則（d）中Γ的相位角為Γ0減去90°的相位（63.4°-90°=-26.6°）。圖2中的極坐標圖顯示了如何從Γ0中圖形化地獲得（d）中的Γ。

圖2:使用上述示例和方程的極坐標圖示例

可以看出，對于給定的Γ0，沿（d）中Γ線的反射系數位于半徑為|Γ0|的圓上?？傊?，反射系數是一個表現良好的射頻參數，因為它的幅度沿線是恒定的，其相位角隨線的長度呈線性變化。線路阻抗的情況并非如此。在負載不匹配的情況下，輸入阻抗沿線路連續變化。對于|Γ0|=1，輸入阻抗的大小可以在零到無窮大之間的任何地方。

高頻反射系數——測量的易用性和可靠性

反射系數在高頻工作中是一個更具吸引力的參數還有另一個原因。阻抗的概念自然會讓我們想到雙端口網絡表示，如阻抗參數、導納參數和混合參數。為了通過實驗確定這些表示的參數，我們需要斷開或短路適當的網絡端口。然而，在高頻下，很難提供短路和開路條件，特別是在寬頻范圍內。此外，有源高頻電路在端接開路或短路時可能會振蕩。

另一方面，反射系數的概念與S參數表示密切相關。使用這種類型的網絡表示，網絡的適當端口在線路的特性阻抗中終止。例如，下圖（圖3）測量了兩個S參數，即S11（輸入反射系數）和S21（從端口1到端口2的透射系數）。

圖3顯示兩個S參數的示例圖

S參數相對于其他類型的網絡表示的一個主要優點是，在實踐中可以實現S參數測量所需的寬帶電阻終端。這使我們能夠進行準確和可重復的射頻測量。

史密斯圓圖的發明

1933年，AT&T工程師Philip Smith發明了史密斯圓圖，以簡化傳輸線的輸入阻抗計算。如上所述，史密斯圓圖是反射系數的極坐標圖。然而，在那些日子里，工程師們習慣于使用阻抗概念；反射系數圖對他們沒有多大意義。

首先，我們設定了一個背景來認識史密斯發明的意義。S參數是由K.Kurokawa在20世紀60年代引入的。在史密斯圓圖發明30多年后的20世紀60年代，也引入了使用S參數將RF分量表征到千兆赫區域的網絡分析儀。Smith至少認識到了反射系數相對于阻抗的一些優點，并決定使用Γ概念來解決他所涉及的問題。為了能夠與其他工程師就阻抗參數的熟悉術語進行交流，Smith還決定包括一些阻抗圖，以便很容易地找到給定反射系數的等效阻抗，反之亦然。通過繪制Γ平面中恒定電阻和電抗的輪廓，創建了熟悉的史密斯圓圖（圖4）。

圖4史密斯圓圖示例

在大多數史密斯圓圖中，Γ平面的實軸和虛軸沒有顯示，因為真的不需要顯式顯示它們。這給我們留下了一些分別對應于恒定電阻和電抗輪廓的圓和弧。讓我們看看這些輪廓是如何獲得的，以及我們如何解釋它們。

史密斯圓圖歸一化阻抗

史密斯圓圖基于Γ0和阻抗之間的關系（方程3）。值得注意的是，方程式3描述了這兩個參數之間的一對一關系，因此知道一個參數就等于知道另一個參數。此外，史密斯圓圖是使用如下定義的歸一化阻抗繪制的：

方程式4

其中r和x是歸一化阻抗的實部和虛部。繪制歸一化阻抗使我們能夠對具有不同參考阻抗的系統使用相同的圖表。然而，我們需要記住，我們從圖表中讀取的阻抗應該乘以Z0，以找到我們系統的實際阻抗值。此外，請注意，使用歸一化阻抗不會改變Γ0方程。為了用歸一化阻抗表示Γ0，我們將方程3的分子和分母都除以Z0，這顯然不會改變方程。Γ0方程以z表示如下：

方程式5

因此，雖然史密斯圓圖上顯示的阻抗是歸一化的，但反射系數不是。方程5是確定給定z如何產生其相應Γ的映射函數。這個方程實際上是雙線性變換。這個名字源于它是兩個線性函數的比值。雙線性變換將圓映射為圓。記住，對于數學家來說，直線也是圓的特例。

恒定電阻圈

作為雙線性變換，方程5將常數r（或具有常數實部的阻抗）的線映射到Γ平面中的圓。例如，線z=0+jx被變換為以Γ平面原點為中心的半徑為1的圓（見圖5中的藍線和藍圓）。

圖5雙線性變換示例

類似地，該變換將線z=1+jx映射到以u=0.5和v=0為中心的半徑為0.5的圓。一般來說，可以證明具有常數r的阻抗被轉換為半徑為 $\frac{1}{r+1}$ 中心在 $u=\frac{r}{r+1}$ and v = 0

恒定電抗循環

對于某些x值，阻抗與恒定電抗的映射如圖6所示。

圖6阻抗與恒定電抗的示例映

 同樣，方程5的雙線性變換將常數x的線（或具有常數虛部的阻抗）映射到Γ平面中的圓。請注意，上圖中僅顯示了這些圓中位于單位圓內的部分。當使用被動載荷時，|Γ|不能超過單位。這意味著阻抗在單位圓內具有r≥0的映射。這就是為什么在處理史密斯圓圖時，我們通常對單位圓內的區域感興趣。只有一部分恒定電抗圓落在單位圓內，因此，這些曲線看起來像一些弧形而不是完整的圓。

一般來說，具有常數x的阻抗被轉換為半徑為 $\frac{1}{x}$

以u=1為中心v=1x

史密斯圓圖是反射系數與上述恒定電阻和電抗輪廓疊加的極坐標圖（上圖4）。

在下一篇文章中，我們將通過史密斯圓圖查看阻抗計算的幾個不同示例