準確測算電壓電流的雙測法

萬用電表因制作工藝所限，總會有誤差。電壓擋的量程越大內阻就越大，對被測電壓的影響就越小。但是量程越大，表指針偏轉就越小，相對誤差就隨之增大，對大內阻電源（其內阻與電壓擋內阻在一個數量級上）來說尤其如此。同樣，電流擋的量程越大，內阻就越小，對被測電流的影響就越小。但是量程越大，表指針偏轉就越小，相對誤差就隨之增大，對小內阻電源（其內阻與電流擋內阻在一個數量級上）來說尤其如此。這種矛盾現象似乎難以解決，但是只要用兩個相鄰擋，測出兩個量，再通過簡單的計算，就能獲得準確結果。

1   準確測算負載端電壓U和電源的電動勢E及其內阻 r

準確測算負載端電壓U 和電源的電動勢E 及其內阻r 的基本方法參見圖1（a），（b），已知：U_M1（第一個電壓擋量程），U₁ （第一個電壓擋測量的電壓），U_M2（第二個電壓擋量程）， U₂（第二個電壓擋測量的電壓），R_L（負載電阻），Sv（電壓擋的電壓靈敏度）。R_V1 ， R_V2（分別是第一，第二電壓擋的內阻） E ，r（分別是電源的電動勢和內阻）。公式推導思路如下所述。

將負載和電源等效為一個帶內阻的電源，其電動勢為E0 （即為負載RL上的端電壓U）和內阻r0（r與RL并聯）。測算出E0與r0之后，則U=E0 ，又當已知RL時，即可求出r 。

（a）

（b）

圖1 負載端電壓U1和U2測算

由圖1（a）得：

由圖1（b）得：

其中，

式（1），（2）聯立，消去r0 ，得到等效電源電動勢：

式（1），（2）聯立，消去E₀，得到等效電源內阻：

實際電壓：

U = E₀   （5）

因 ，則電源內阻為：

回路電流等于負載電流，即則電源電動勢為：

測取電壓U₁和U₂的相對誤差分別為：

當除去R_L ，即空載時，

測取電壓U₁和U₂的相對誤差分別為：

（1）測算空載時的電源電動勢E 及其內阻r

已知：

求：E，r，U，γ _V1，γ_V2。

解：將已知代入式（5）、（6）、（7）、（10）、

（11）求得。下面用MTLAB 語言編程計算，見程序1。

程序1

a=input(‘a=’);Um1=input(‘Um1=’);U1=input(‘U1=’);Um2=input(‘Um2=’);U2=input(‘U2=’);Sv=input(‘Sv=’);

Rv1=Sv*Um1;Rv2=Sv*Um2;

E0=U1*U2*(Rv2-Rv1)/(U1*Rv2-U2*Rv1);

r0=Rv1*Rv2*(U2-U1)/(U1*Rv2-U2*Rv1);

if a==0 % 計算無負載時的電源電動勢E 及其內阻r

E=E0

r=r0

Gmv1=(U1-E)/E % 測量值U1 的誤差

Gmv2=(U2-E)/E % 測量值U2 的誤差

else % 計算負載端電壓U 和電源電動勢E 及其內阻r

RL=input(‘RL=’);

U=E0

r=RL*r0/(RL-r0)

E=(RL+r)*U/RL

Gmv1=(U1-U)/U % 測量值U1 的誤差

Gmv2=(U2-U)/U % 測量值U2 的誤差

End

輸入數據：

a=0

Um1=10

U1=8.57

Um2=50

U2=20

Sv=20

計算結果：

E=30.0044

r=500.2188

Gmv1=-0.7144

Gmv2=-0.3334

結果是E = 30V，r = 500 kΩ，γ V1 = ?71.44% ，γ_V2 ?33.34% 。

可見，測量的電壓U1 低于實際電動勢E71.44% ，顯然是不可采信的。真實的空載電動勢是30V 。

（2）測算有負載時的負載端電壓U 和電源電動勢E 及其內阻r

輸入數據：

a=1

Um1=10

U1=7.5

Um2=50

U2=15

Sv=20

RL=1000

計算結果：

U=20

r=500.0000

E=30

Gmv1=-0.6250

Gmv2=-0.2500

結果是 E = 30V ， R = 500 kΩ ， U = 20V ，γ_V1=?62.5% ，γ V 2 = ?25% 。

可見，測量的電壓U1 低于實際電壓U62.5% ，顯然是不可采信的。真實的負載端電壓是20V 。

2   準確測算負載電流I和電源電動勢E及其內阻r^[1]

已知：使用萬用電表電流擋量程IM1 測得電流I1 ；另一電流擋量程IM 2 和測得電壓I2 ；萬用電表電流擋的電壓降UI 。

求：負載電流I ，電源電動勢E 及其內阻r 。

解：公式推導

（a）

（b）

圖2

由圖2（a）得到測量電流：

由圖2（b）得到測量電流：

其中，分別為電流擋I_M1， I_M2的內阻。UI 是電流擋的滿量程端電壓降。

式（14）和式（15）聯立，消去r ，得到電源電動勢：

式（14）和式（15）聯立，消去E ，得到電源內阻：

實際電流：

測取電流I₁和I₂的相對誤差：

例2 已知：

Gmi2=(I2-I)/I

輸入數據：

Im1=1

I1=1

Im2=5

I2=1.154

RL=4

UI=1

計算結果：

E=5.9948

r=0.9948

I=1.2002

Gmi1=-0.1668

Gmi2=-0.0385

結果是E = 6V，r =1Ω，I =1.2 A，γ I1 = ?16.68%，γ_I2=?3.85%

可見，測量的電流I1 低于實際電流I16.68% ，顯然是不可采信的。真實的負載電流是1.2 A 。

3   討論

（1）在第1 項中

（a）由式（6）、式（1）和式（2）知。r = 0 時可知，電源內阻越小，則其

壓降就越小，測量值就越接近實際值。對市電來說，電源內阻遠遠小于電壓表內阻。測量的電壓是準確的。一般來說，對萬用電表的電壓靈敏度要求不高，不過對于經過小型電源變壓器降壓之后，電源內阻就不能忽視了。

（b）由式（1）和式（2）知，當RV1 → ∞ 時，故RV1 越大，測量值就越接

近于實際值。

（2）在第2 項中

當時， 由式（14） 和式（15） 變為

可見，電流檔內阻或電壓降越小，測量電流就更接近于實際電流。

4   結語

從上述分析和討論可知，若電源內阻為零，或電壓擋的內阻無窮大和電流檔的內阻無窮小，電壓就沒有對負載的分流作用，電流擋也沒有對負載的分壓作用，測量值就是實際值。遺憾的是這種理想情況是不存在的，于是雙測法才派上用場。

對于電工技術人員來說，雙測法的用途有限，只是在電源變壓器二次側的低壓場合可能用上；對于電子技術人員來說，遇到的多是低電壓小電流的弱電設備，雙測法是準確測定電壓電流的最好方法。

如何判斷是否使用雙測法？可將測得的兩個電壓進行比較，若相差無幾，則認為測量的電壓就是實際，否則就不得不用雙測法了。對于電平測量^[2]和功率測量^[3]，也可用本文方法。將測定的電壓轉化為對應的電平值或功率值即可。

還需說明的是，文中所說電壓或電流的實際值或準確值，只對理想情況而言，事實上萬用電表本身各擋均有誤差，是儀器制作本身帶來的。

文中使用了MATLAB 算法語言編制程序，目前該算法語言很流行，也很好用。否則，要用計算器計算就很麻煩，也易出錯，用該程序就能快速獲取正確結果，以后還可反復使用。

參考文獻：

[1] 沙占友,王彥朋,睢丙東,杜之濤.萬用表速學巧用一本通[M].北京:中國電力出版社,2012:216-217.

[2] 呂炳仁.指針式萬用電表電平測量原理和誤差分析[J].北京:電子產品世界,2021(8):71-73.

[3] 呂炳仁.指針式萬用電表功率測量原理和誤差分析[J].北京:電子產品世界,2021(9):54-56.

（本文來源于《電子產品世界》雜志2022年3月期）