濾波器的截止頻率和品質因數詳解

　　濾波器的截止頻率（F0 ）一般地是指幅度響應比通帶低3 dB時的頻率。對于切比雪夫濾波器， 有時可以定義為幅度響應降至通帶以外時的頻率。例如， 一個0.1 dB切比雪夫濾波器的F0 可以定義為響應下降》 0.1 dB 時的頻率。 如果考察的是實際頻率與截止頻率之比，而不是實際頻率 本身，則衰減曲線的形狀（以及相位和延遲曲線，它們定 義著濾波器的時域響應）將是相同的。將濾波器歸一化至 1 rad/s，則可開發出一種簡單的濾波器設計和比較系統。 在此基礎上，用截止頻率對濾波器進行縮放，以確定實際濾波器的元件值。

　　濾波器的品質因數（Q）有時也表示為α，其中： 這通常稱為阻尼比。請注意，有時使用ξ，其中：若Q 》 0.707，則濾波器響應中會有些峰值化現象。若Q 《 0.707，F0 處的滾降會稍大；斜率將更平坦些，滾降發生的 時間將提前。對于2極點低通濾波器的峰值化量與Q的關系如圖1所示。

　　用ωo 和Q改寫傳遞函數H（s）：

　　其中，H0 為通帶增益且ωo = 2π F0 。 現在，我們將用該低通原型來設計濾波器。

　　高通濾波器

　　把低通原型的傳遞公式H（s）的分子改為H0 s2 ，結果將使低 通濾波器變成高通濾波器。該高通濾波器的響應在形狀上 與低通濾波器相似，只是頻率反相而已。 高通濾波器的傳遞函數為：

　　2極點高通濾波器的響應如圖2所示。

　　帶通濾波器

　　把低通原型的分子改為Ho ωo 2 ，結果將把濾波器變成一個 帶通函數。 帶通濾波器的傳遞函數為：

　　（5）

　　其中：ω為濾波器增益峰值化時的頻率（F0 = 2 π ω0 ）。 H0 為電路增益，定義為：

　　H0 = H/Q. （6）

　　對帶通響應來說，Q有特殊意義。它是濾波器的選擇性。 定義為：

　　（7）

　　其中，FL 和FH響應比最大值相差–3 dB時的頻率。 濾波器的帶寬（BW）定義為

　　（8）

　　請注意，可以證明，諧振頻率（F0 ）為FL和FH的幾何平均 值，這就意味著，F0 在對數尺度上將出現在FL 和FH二者的中點。

　　另需注意的是，在對數尺度上，帶通響應的波裙在F0 左右 始終是對稱的。

　　帶通濾波器對各種Q值的響應如圖3所示。

　　這里需要提醒一下。帶通濾波器有兩種定義方式。窄帶情 況為經典定義，如圖3所示。

　　然而，在某些情況下，如果高、低截止頻率相差很大，則 帶通濾波器采用獨立的高通和低通部分進行構造。這里所 說的相差很大是說至少相差2個倍頻程（頻率&TImes;4）。這是使 用寬帶的情況。

　　帶阻（陷波）濾波器

　　把分子改為s2 + ωz 2 ，就可以將濾波器轉換成一種帶阻或陷 波濾波器。就如帶通濾波器一樣，如果帶阻濾波器的轉折 頻率之間間隔大于一個倍頻程（寬帶情況），則可用單獨的 低通和高通部分構造。因此，我們將采用以下規范：窄帶 帶阻濾波器將稱為陷波濾波器，寬帶帶阻濾波器稱為帶阻 濾波器。

　　陷波（或帶阻）傳遞函數為：

　　（9）

　　陷波濾波器的特性有三種情況，如圖4所示。極點頻率ω0 與零點頻率ωz 的關系決定著濾波器是標準陷波、低通陷 波，還是高通陷波。

　　如果零點頻率等于極點頻率，則存在標準陷波。在此例 中，零位于jω平面，其中，定義極點頻率的曲線與軸相 交。

　　當零點頻率大于極點頻率時，會發生低通陷波。這種情況 下，ωz 位于極點頻率曲線之外。對實際應用來說，這意味 著，濾波器在ωz 以下的響應將大于ωz 以上的響應。結果形 成一種橢圓形的低通濾波器。

　　當零點頻率小于極點頻率時，會產生高通陷波濾波器。這 種情況下，ωz 位于極點頻率曲線之內。對實際應用來說， 這意味著，濾波器在ωz 以下的響應將小于ωz 以上的響應。 結果形成一種橢圓形的高通濾波器。

　　陷波寬度隨Q的變化情況如圖5所示。