一種基于模板元編程的量綱檢測方法
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量綱誤用在科學計算程序中是一種常見的錯誤，然而程序設計語言的標準類型系統卻對此無能為力。物理方程中的量綱錯誤可以手工分析出來，然而求解物理方程的計算機程序中的量綱錯誤卻難以被發現，因為計算程序往往很復雜。例如，一些研究者認為火星氣候探測衛星的丟失，是因為程序中把一個英制單位的變量傳遞給了使用公制單位的模塊。因而，量綱的正確性對計算結果的正確性非常重要。
近年來，研究者們提出了一些量綱檢測方法，典型的如Osprey量綱檢測方法。Osprey方法包含5個主要步驟：
(1)對待檢測源程序進行單位標注，使得檢測器能夠知道每個變量的單位；
(2)C語言解析和語法檢查；
(3)生成包含單位信息的抽象語法樹；
(4)生成約束CY程)；
(5)方程的化簡及高斯消去求解(GE)。
可以看出，Osprey方法步驟較多，每步都需要語言外的其他工具，并需要對其進行修改、擴充，而且最后的高斯消去(GE)計算量非常大，是Osprey方法的性能瓶頸。使用Osprey方法還有一個問題，就是需要同時維護2份源代碼：一份正常代碼用于編譯測試；另一份包含量綱信息的檢測代碼，修改正常代碼后必須及時對檢測代碼進行更新，維護起來也比較繁瑣。此外，由于C++語言的解析非常困難，Osprey方法目前沒有實現對C++程序的量綱檢測。
針對這些問題，提出一種基于模板元編程的量綱檢測方法TADA(TMP-bAsed Dimensional AnalysisMethod)，其基本思路是利用程序設計語言自身的模板元編程(Template Meta Programming，TMP)功能，讓編譯器在編譯時對程序中的量綱進行準確性檢測，從而可以避免Osprey方法的計算量大等諸多問題。TADA方法具有下列優點：
(1)TADA方法可使得應用開發人員不需要維護2份代碼，因為使用TADA方法的檢測程序也完全是一個合法的可編譯的程序。
(2)TADA方法的量綱檢測完全在編譯期間進行，對程序不會引入任何運行時開銷。
(3)TADA方法無需進行方程組求解工作，可以適用于任何規模的程序。與Osprey等方法類似，TADA方法也需要手工對程序添加量綱信息，其標注的工作量與Osprey等方法相當。但TADA方法中編譯器在進行檢測的時候無需進行Osprey方法中的方程組求解工作，因而不再有Osprey方法的計算瓶頸。
(4)TADA方法采用模塊化設計，使得單位的表示與匹配檢測之間實現了松耦合，支持用戶可以以一致的方式增加新的單位。
1 模板元編程(TMP)技術
在C++程序設計語言中，模板元編程是實現代碼重用的一種重要機制。下面首先對模板元編程技術進行介紹，然后給出TADA方法中需要使用的幾個基本的模板元程序。
1．1 模板元編程簡介
模板可以將類型定義為參數，以提高代碼的可重用性。模板包括類模板和函數模板等。函數模板與模板函數的區別可以類比于類與對象的區別：函數模板是模板的定義；而模板函數是函數模板的實例，具有程序代碼，占用內存空間。當編譯系統發現了函數模板一個對應的函數調用后，根據實參的類型來確認是否匹配函數模板中對應的形參，然后生成一個重載函數，稱該重載函數為模板函數。類似地，在聲明了一個類模板后，也可以創建類模板的實例一模板類。
類模板的一般形式如下：
template
class類名{
／／類定義…
}；
C++模板系統能夠通過模板的特化、偏特化實現邏輯判斷，并能通過模板遞歸實現循環，構成了一個圖靈完全的二級語言。使用這種二級語言進行編程叫作C++模板元編程(Template Meta Programming，TMP)。模板元編程的驅動力是模板的遞歸實例化。
下面給出C++模板元編程的一個示例。
首先定義一個類模板，通過該類模板可實現在編譯期間計算4的任意次方。如下所示：
通過下面的程序來使用該模板。
程序Test．cpp執行完后，會正確輸出4的7次方的值，該數值是C++編譯器在編譯模板元程序時遞歸計算得到。由于模板元程序完全在編譯期間執行，相當于對編譯器功能進行擴充，因而利用這種程序進行量綱檢測具有良好的可行性。
1．2 基本模板元程序
下面給出TADA方法中需要使用的幾個基本的模板元程序。
(1)靜態判斷
語法：StaticlFcond，T1，T2>：：ResultType
語義：當cond為真時，ResuhType為T1，否則ResuhType為T2。
(2)靜態斷言
語義：當cond為真時什么也不做，否則產生一個編譯期錯誤(UnitError沒有定義，或void函數不應該有返回值)。
(3)靜態絕對值
語義：遞歸的使用輾轉相除法在編譯期間求出a與b的最大公約數，其中a與b為int類型。
2 TADA量綱檢測方法
TADA量綱檢測方法需要涉及到單位和量綱的表示、計算、標注以及數學運算函數的量綱包裝等各個組成步驟，下面將依次對其進行介紹。
2．1 單位和量綱的表示
在Osprey方法中，量綱是用一個長度為7的向量表示的，每個分量對應一個SI標準量綱。TADA方法中也采用了這種方式。為了簡化闡述，本文只討論長度、重量、時間這三種量綱，其SI單位分別為米、千克和秒(TADA方法可直接推廣到其他各種量綱)。由于TMP程序的特殊性，它并沒有數組或向量的支持，也不能使用浮點數據(使用浮點數表示量綱也會帶來不精確性)，量綱在TMP程序中的表示形式有所不同：用u11，u12，u21，u22，u31，u32之類的整型量分別表示
，
并輔以ratio表示同量綱、不同單位之間的比值，如分鐘和秒的比值為60。
TADA方法可靜態地建立如下常用單位：
模板元程序在計算公式的時候需要推導出新的量綱，例如在計算
的時候，編譯器應該能根據等號右邊的公式計算出它的量綱，并與e的量綱進行比較判別。TADA方法的量綱是用分數形式表示的，在每次量綱計算之后都需要進行分數的約分處理，才能進行相等性判斷，因而TADA方法可用如下的方式處理新生成單位，如下所示。
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