模糊滑模控制在蹺蹺板系統(tǒng)中的應(yīng)用研究

1 引言
一般來說，大多數(shù)物理過程都具有復(fù)雜、高度非線性、易受外界干擾影響，且存在很大的不可知性等特點(diǎn)。利用傳統(tǒng)的控制器來處理該類系統(tǒng)是非常困難的。然而，隨著控制理論的不斷發(fā)展，智能控制即使在不知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的情況下也能獲得比傳統(tǒng)控制方法更好的控制效果[1]。蹺蹺板系統(tǒng)是一個(gè)比倒立擺系統(tǒng)更為復(fù)雜，更接近于實(shí)際應(yīng)用的典型控制系統(tǒng)。它具有嚴(yán)重的非線性、強(qiáng)耦合、對(duì)干擾敏感、模型過于復(fù)雜等特點(diǎn)[2-5]。蹺蹺板系統(tǒng)是由一部小車、一個(gè)直流伺服電動(dòng)機(jī)、兩個(gè)分別用于測量角度和位置的電位計(jì)以及蹺蹺板三角體組成。而讓蹺蹺板平衡的機(jī)制就是利用蹺蹺板系統(tǒng)中小車的移動(dòng)來完成平衡的目的^[6]。
由于蹺蹺板系統(tǒng)具有高度的非線性和強(qiáng)耦合性等特點(diǎn)以及變結(jié)構(gòu)控制的抖振問題，本文將模糊滑模控制算法引入系統(tǒng)控制中以柔化控制量。使用模糊控制策略不僅可以使控制系統(tǒng)滑動(dòng)模態(tài)的品質(zhì)得到保證和改善，同時(shí)消除了滑模控制中的抖振現(xiàn)象。
2 蹺蹺板系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
蹺蹺板系統(tǒng)示意圖如圖（1）所示。

圖（1）蹺蹺板系統(tǒng)示意圖

圖中各參數(shù)定義如下：
杠桿的傾斜角度；X : 小車的位置；d₁ : 杠桿相對(duì)支點(diǎn)高度0.125 m；d₂ : 杠桿中心點(diǎn)相對(duì)支點(diǎn)高度0.058 m；I_w : 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量0.395kg.m²；m_b : 小車的質(zhì)量0.57K；m_w : 杠桿的質(zhì)量3.6K； : 重力加速度9.81N/K。
定義拉格朗日算子
L=T-U （1）
其中T 為系統(tǒng)的動(dòng)能，U 為系統(tǒng)的勢能。取狀態(tài)變量為 ，為構(gòu)造拉格朗日方程，分別求出

將（4）式代入（2）式和（3）式，即可得到（5）和（6）式

通過（5）和（6）式可分別求得 和 的表達(dá)式

方程組（7）即為系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程表達(dá)式。

3 模糊滑模控制器的設(shè)計(jì)
滑模變結(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)速度快、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用與非線性系統(tǒng)控制當(dāng)中，但是滑模控制容易引起系統(tǒng)的抖振現(xiàn)象，導(dǎo)致系統(tǒng)的最終不穩(wěn)定。模糊滑模控制是在不確定環(huán)境下，對(duì)于復(fù)雜對(duì)象進(jìn)行有效控制的一種智能控制方法。它不依賴系統(tǒng)的模型，而且對(duì)干擾具有完全的魯棒性，同時(shí)保持了模糊控制和滑模控制的優(yōu)點(diǎn)。模糊滑模控制的基本設(shè)計(jì)方法是在滑模控制系統(tǒng)的趨近階段通過模糊邏輯調(diào)節(jié)控制作用來補(bǔ)償未建模動(dòng)力學(xué)的影響，其目的是提高控制系統(tǒng)的品質(zhì)、減少到達(dá)滑動(dòng)面時(shí)間、降低抖振。文中利用模糊控制規(guī)則調(diào)整控制輸入量 的大小，保證滑模控制到達(dá)條件得到滿足。模糊滑模控制原理如圖1所示。

圖1 模糊滑模控制原理圖

由圖可知，模糊滑模控制系統(tǒng)由三部分組成，即切換函數(shù)、模糊控制器、和被控對(duì)象。滑模函數(shù)的輸入為系統(tǒng)狀態(tài)變量，切換函數(shù)設(shè)計(jì)為s=C?X
（1）
模糊控制器的輸入為切換函數(shù) 及其變化率 ，這樣可有效的減少模糊規(guī)則的數(shù)量，很好的解決高階系統(tǒng)多輸入中存在的規(guī)則爆炸問題。控制的變化量 作為滑模控制器的輸出，可使模糊滑模控制成為無模型控制，依賴于被控對(duì)象的程度較小^[7]。
根據(jù)模糊控制原理，定義模糊集 ，