射頻的起點：從麥克斯韋方程組說起

射頻技術的故事，要從麥克斯韋和他的方程組講起。對很多行業的人來說，麥克斯韋這個名字或許有些陌生 —— 他的名氣似乎遠不及電學領域的安培、法拉第，也比不上發明大王愛迪生、交流電先驅特斯拉。但對每一個射頻人而言，他卻是不折不扣的 “祖師爺”：是他第一個預言了電磁波的存在，第一個將電與磁的規律統一成完整體系，第一個揭示了電磁波與光的統一性，更是我們如今這個無線通信時代的 “奠基者”。所以，當我們刷著抖音、玩著王者，享受無線連接帶來的便利時，別忘了背后站著這位用方程點亮無線世界的先驅 —— 麥克斯韋。

圖1 麥克斯韋和麥克斯韋方程的微積分形式

麥克斯韋方程組，就是圖 1 里的那兩組公式：左邊是微分形式，右邊是積分形式。對不少 “高等數學恐懼癥” 患者來說，這組方程簡直是 “勸退現場”—— 微積分符號看得人頭暈，那個倒三角▽像個神秘符號，中間帶圈的符號更是讓人摸不著頭腦。我當初也一樣：公式里的 E、B、ρ 這些字母代表什么意思還能看懂，但前面的符號是啥？它們又在表達什么規律？

直到朋友圈里兩篇爆文的出現，才讓我對這組方程有了新的認識 ——《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）》《最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（積分篇）》。那陣子，這兩篇文章幾乎刷爆了所有射頻人的朋友圈：原來祖師爺留下的 “硬核知識”，也能被解讀得這么通透易懂？于是我也跟著 “啃起了硬骨頭”，拼命查資料、翻論文，甚至把麥克斯韋當年的三篇經典著作都翻了出來 ——《論物理力線》（1861）、《電磁場的動力學理論》（1865）、《電磁學通論》第二卷（1873 年，牛津大學克拉倫登出版社）。坦白說，這些一百多年前的文字讀起來并不容易：古英語的表述方式、略顯晦澀的推導邏輯，越讀越覺得自己像在 “啃天書”

但或許，我們可以換個角度：先拋開那些復雜的運算符號，從物理意義入手理解麥克斯韋方程組，會不會更容易些？

先看第一個方程。不管是微分形式還是積分形式，左邊都是對電場 E 的操作，右邊則是和電荷相關的量 —— 微分形式里是電荷密度 ρ，積分形式里是總電荷 Q。說白了，它描述的就是電場和電荷的關系。這一點，很多中學生都能脫口而出：電荷會產生電場。理解了這層，再看微分和積分形式就簡單了：微分，就像把一個大物體切成無數小塊，看每一小塊的電場與電荷的關系；積分，則是把這些小塊 “拼” 回去，看整個封閉曲面內的總電場與總電荷的關系。所以麥克斯韋方程組第一個方程的微分形式，說的是 “當我們觀察一個無限小的封閉曲面時，電場的特性由這一小塊空間里的電荷密度 ρ 決定”；積分形式則是 “某個封閉曲面內的電場總和，等于這個曲面里包含的總電荷量”。更進一步說，電場是 “有源的”，而產生它的 “源”，就是電荷。這其實就是我們中學學過的 “電場高斯定律”，是庫倫定律的延伸。配合圖示理解，這種 “電荷生電場” 的關系會更清晰。

相應地，第二個方程就好理解了。左邊的量從電場 E 變成了磁感應強度 B，右邊則變成了 0。這又是什么意思呢？比如微分形式，說的是 “一個無限小的封閉曲面內，磁通量等于 0”；積分形式則是 “任意封閉曲面內的總磁通量之和為 0”。

之所以會這樣，是因為磁場的磁力線永遠是閉合的：一個磁體，無論你怎么切割，它總有 N 極和 S 極，磁力線從 N 極出發，必然會回到 S 極。這意味著，任何封閉曲面內 “穿進” 多少磁力線，就會 “穿出” 多少，總和永遠是 0。換句話說，自然界中不存在 “單磁體”（比如只有 N 極或只有 S 極的磁體）。雖然科學家們至今還在努力尋找單磁體，但至少目前，這個方程依然成立。想想看，這條 “高斯磁定律” 是高斯在 200 多年前提出的。

后面兩個方程，就更能體現麥克斯韋方程組的 “精妙” 了。它們的左邊是描述空間特性的量，右邊是描述時間變化的量 —— 當 “空間” 和 “時間” 在這里相遇，就產生了奇妙的 “變化”。更有意思的是，方程的一側是電場 E 或電位移 D，另一側是磁感應強度 B 或磁場強度 H（注意，E、D、B、H 都是矢量，頭頂上都該帶箭頭）。也就是說，通過 “變化”，電場和磁場被緊緊聯系在了一起。 

先看第三個方程：隨時間變化的磁場，能產生電場。這是法拉第經過無數次實驗得出的結論，也是電動機的原理 —— 正因為 “變化的磁場生電場”，人類才從蒸汽時代邁入了電力時代。不過要注意，這里的感應電場和電荷產生的電場不一樣：電荷產生的電場是 “發散的”，而感應電場是 “漩渦狀” 的，就像水流中的漩渦，所以也叫 “漩渦場”。

第四個方程，則是麥克斯韋方程組的 “點睛之筆”。它告訴我們：不僅電流 J 能產生磁場，變化的電場也能產生磁場。正是這一點，讓電和磁實現了 “歷史性握手”：變化的電場生磁場，變化的磁場又生電場，如此交替往復，就形成了向前傳播的電磁波。我們今天的無線電通信、手機信號、衛星傳輸，都是靠這種 “交替并進” 的電磁波傳遞信息的?？梢哉f，正是這兩個方程，讓 “電” 和 “磁” 不再是孤立的現象，而是統一成了 “電磁場”，為無線時代埋下了伏筆。

講到這里，或許你對麥克斯韋方程組已經有了些感覺。這時候再回頭看那些奇怪的數學符號，可能就沒那么 “可怕” 了。那個倒三角▽，名叫 “哈密頓算子”，讀作 “那勃樂”，它代表著對 x、y、z 三維坐標系的微分運算，而且在運算中既保留了微分的特性，又帶著矢量的 “方向感”，就像一把 “矢量手術刀”，能精準 “切割” 空間中的場分布。

運算方式：

點乘（Dot Product）的結果是點積，又稱數量積或標量積（Scalar Product）。從代數角度看，點積是對兩個向量對應位置上的值相乘再相加的操作，其結果即為點積。從幾何角度看，點積是兩個向量的長度與它們夾角余弦的積。

具體來說，▽?描述的是散度，它描述的是矢量場 “發散” 的強弱。從物理意義上看，它表示矢量場的 “有源性”：如果散度大于 0，說明這個矢量場在這一點有 “正源”（比如正電荷周圍的電場，像泉水一樣向外發散）；如果散度小于 0，說明有 “負源”（比如負電荷周圍的電場，像下水道一樣向內匯聚）；如果散度等于 0，就說明這里沒有 “源”（比如磁場的散度永遠為 0，因為沒有單磁體）。

叉乘（Cross Product）又稱向量積（Vector Product）。對于三維空間中的兩個向量，叉乘的結果是一個新向量 a×b。模長（大小）：叉乘結果向量的模長等于兩個原始向量的模長與它們夾角的正弦值的乘積。這個模長具有明確的幾何意義：它表示以a 和 b 為鄰邊構成的平行四邊形的面積。因此叉乘的模長反映了兩個向量的“垂直程度”。

▽× 描述的是旋度，描述的是矢量場在某一點附近的 “旋轉程度”。旋度矢量的大小，等于 “繞著某一旋轉軸的環量” 與 “旋轉路徑圍成的面積” 之比；方向則是這個旋轉最劇烈的軸的方向，和旋轉方向滿足 “右手定則”（比如用右手四指彎曲指向旋轉方向，大拇指就是旋度的方向）。比如水流中的漩渦，旋轉越急，旋度就越大；而均勻流動的水流，旋度則為 0。

理解了這些符號，再看麥克斯韋方程組，是不是就清晰多了？這組方程看似復雜，卻用最簡潔的數學語言，揭開了電與磁的神秘面紗，也為射頻技術鋪就了起點。