任意噪聲和約束下的最佳數字濾波器設計

　　摘 要：為提高數字譜儀的能量分辨率，利用約束最優化方法提出了一個在任意平穩噪聲背景下直接設計最佳數字有限沖擊響應(FIR)濾波器的方法。該方法易于附加任意時域和頻域約束(平頂、基線恢復等)。詳細給出了最佳濾波器的設計推導過程，并在設計實例基礎上，分析了濾波器的時域、頻域響應和不同約束條件下的最大信噪比曲線。結果證明，該方法能夠有效去除基線漂移和彈道虧損，得到了約束條件下的最大信噪比，適合在未知系統噪聲特性情況下的高計數率、高精度譜儀中使用。

　　關鍵調：最佳濾波器；數字譜儀；基線恢復

　　在數字譜儀中，探測器輸出信號直接進行模數轉換，經過數字濾波可以改善模數轉換器(ADC)的線性和精度，因此數字濾波器的設計成為提高整個系統性能指標的關鍵。譜儀濾波器的設計，除盡可能提高信噪比外，通常還要考慮成形脈沖形狀的要求，例如窄成形脈沖以減少堆積，渡形頂部平坦以減少彈道虧損等。

　　文提出了一種可以附加任意約束、在任意噪聲背景下設計最佳模擬濾波器的方法，由于設計出來的是權函數，無法直接用于數字濾波，而且通過抽樣最佳模擬濾波器得到的數字濾波器不是最優濾波器。文提出了移動窗口解卷積的設計方法，此方法無法考慮噪聲影響，僅適合指數衰減形式的脈沖。文提出了懲罰最小方差方法設計最佳濾波器，其約束必須寫成二次型的形式，添加約束比較困難，并且在多個約束的條件下，無法綜合出嚴格的平頂。

　　有限沖擊響應(FIR)濾波器沒有反饋通路，某個時刻的輸出直接由此時刻之前固定時間長度的輸入決定，其結構特點易于通用數字信號處理器(DSP)芯片或在線可編程邏輯陣列(FPGA)實現。本文提出了一種基于信噪比準則的直接設計最佳數字FIR濾波器的方法。

　　l 問題的提出

　　假定噪聲是和輸入信號不相關的平穩隨機過程，在已知輸入信號形狀噪聲自相關函數的條件下，尋找滿足約束條件的FIR濾波器，使輸出信號的信噪比最大。先求得以濾波器系數為變量的信噪比表達式，然后添加適當約束，把求解最佳濾波器的任務轉化成求解一個約束最優化問題。

　　1．1 SNR的計算

　　設噪聲的自相關函數為{r(i)}，待求的N階FIR濾波器的沖擊響應為h={h(0)，h(1)，…，h(N一1)}T，采樣得到的信號為{s(i)}，由已知波形的輸入脈沖信號{x(i)}和噪聲信號{n(i)}相加而成。從{x(i)}選取N個連續數據，使N個數的平方和最大，重新排列標號，使得選取的數據為{x(1)，…，x(N)}。

　　1．2 時域約束的添加

　　濾波后的脈沖為輸入和FIR濾波器的卷積，即成形后脈沖各點是輸入以h為系數的線性組合，這樣把在時域的約束轉化成了對h的約束。以添加平頂約束為例，設要求輸出脈沖的平頂寬度為m，即要求y(N)直到y(N一m)相等，則有：

　　1．3 頻域約束的添加

　　FIR的頻率響應為

　　式中DTFT表示離散Fourier變換。

　　頻率響應函數為FIR濾波器系數的線性組合，因此把在頻域的約束也轉化成對h的約束。為了去除基線漂移，FIR的頻率響應在0 Hz處為0，即

　　平頂和去除基線這兩個約束構成了一個線性方程組。這些約束相互之間是獨立的，否則可以從這些方程中選取出最大無關向量組來構成A。綜合式(1)和(2)，構成一個線性約束最優化問題。

　　2 問題的求解

　　在有約束情況下，約束線性方程組把N維線性空間直和分解分成兩個空間：濾波器允許空間(任意向量都滿足約束條件)及此空間的正交補。把無約束下的解向濾波器允許空間投影就得到了約束條件下的最佳解。

　　2．1 無約束的情況

　　噪聲的相關矩陣為實對稱正定矩陣，可以共軛對角化為

　　2．2 有約束的情況

　　在有約束的情況下，h1受約束條件的限制，約束條件轉化成一個線性方程組，即

　　假設共有m個獨立約束，則約束方程組的解構成一個N一m維線性空間，稱為濾波器允許空間，記做V，則V垂直于矩陣的行空間。把作QR分解得到

　　由于P為單位正交陣，P的前m列構成的行空間一個正交基底，后N一m列構成V的一個正交基底。把分解成V中的向量和與V垂直的向量，有

　　當約束方程中的b不為0時，則h1被限制在一個仿射空間內，把h1平移到此空間中的任意一點，就變化成和b為0一樣的解法。在約束為非線性時，可以采用數值最優化方法求解。

　　2．3 求解結果的分析

　　無約束的情況：在白噪聲情況下，自相關矩陣為噪聲功率乘以單位陣，此時的解簡化為h=kx。也就是說，濾波器與已知信號的形狀成正比，對應于模擬情況下的匹配濾波器。在有色噪聲情況下，相當于x先對輸入噪聲進行白化處理，得到白噪聲，因此，有色噪聲情況下的最佳濾波器是白化濾波器與其后的白噪聲匹配濾波器的級聯。

　　在有約束的情況下，給定的約束條件限制了濾波器的范圍，最佳濾波器為無約束條件下的最佳濾波器向濾波器允許空間的投影。

　　2．4 輸入波形和噪聲自相關函數的計算

　　在已知前放和抗混疊濾波器參數的情況下，可以直接計算得到輸入信號。由于RC參數的不精確，計算得到的波形和實際的波形有差別，可以通過估計極零點的方法加以修正?；蛘咂骄啻蜛DC的采樣來減小噪聲，從而得到輸入信號的波形。

　　在已知噪聲功率譜的情況下，可以通過Fourier反變換得到連續時間下的自相關函數。在很多情況下，可能不知道準確的系統噪聲特性，可以通過采樣無信號輸入時ADC的輸出來計算系統的自相關函數。如果采樣得到的噪聲序列是{x(i)}，那么怙計自相關函數為

　　3 設計結果

　　以下面的參數為例進行分析：輸入脈沖有3個相等的實極點，時間常數為200 ns，幅度歸一化為1，采樣頻率為50 MHz，噪聲為白噪聲。

　　3．1 濾波器長度的選取

　　濾波器的長度越長，系統能夠得到的信噪比越大。但成形后的脈沖寬度也越寬，因而容易產生堆積。在設計實際的濾波器時，要根據計數率和噪聲等因素綜合考慮，選擇合適的長度。一般在選取輸入波形數據段時，如果段數據平方包含的面積和整個波形平方后的總面積相差不多，則設計出的最佳濾波器的信噪比就很接近理論上的最大值。在下面討論中，把實際濾波器的信噪比以濾波器無限長時的最大信噪比進行了歸一化。在上述輸入條件下，FIR濾波器長度取70時的信噪比已達到0．998。

　　3．2 設計結果

　　取濾波器的長度為70，在無約束、有平頂寬度為20、去除基線和既有平頂叉去除基線4種約束情況下分別求解，FIR濾波器的設計結果如圖l所示。有平頂約束的FIR濾