基于數學優化法的帶通濾波器研究

摘要：提出了在濾波器設計過程中的一種數學優化設計方法。理論分析表明，該設計方法能夠通過設定目標函數和約束條件的方式迅速而準確地逼近目標，接近理想響應。基于該分析，分別用插入損耗法和數學優化法設計了一個等波紋電感耦合帶通濾波器。仿真結果表明：使用數學優化法不僅可以快速而準確地進行設計，而且能大幅提升濾波器性能。
關鍵詞：數學優化法；插入損耗法；帶通濾波器；波紋電感

微波濾波器是無線通信收發電路的重要組成部分，在收發前端承擔信號選擇的功能，在各種無線系統中得到非常廣泛的應用，對它設計方法的研究也一直是微波學界研究的焦點問題之一。通常，濾波器可采用傳統的電路綜合法，包括鏡像參量法、網絡綜合法、插入損耗法等進行設計。近年來，隨著無線通信技術的日益發展和微波濾波器面積的不斷縮減，單純利用傳統的設計方法已經很難滿足結構更加復雜的現代新型濾波器的設計要求。因此，提出新的設計方法已經成為技術發展和應用的關鍵問題之一。
基于以上背景，本文提出了一種數學優化設計方法進行濾波器設計。相比傳統的電路綜合法，這種優化設計方法可對多個頻率點設立目標函數，在一段頻率區間內實現對多個目標的逼近，從而有效地把握濾波器的整體響應，達到精確設計并提高性能的目的。本文用該方法設計了一種等波紋電感耦合的帶通濾波器，驗證其在控制帶寬及改善整體性能方面的優越性。

1 數學優化法設計原理
數學優化法是一種求極值的方法，即在一組約束條件下，使目標函數達到極值，常用的數學優化方法有梯度法、牛頓法、退火算法和遺傳算法等。
在濾波器的優化設計過程中，先求得優化頻率點，然后構造目標函數K，并把其在優化頻率點處的最小值作為目標，利用優化算法求得最優解。
1．1 求解優化頻率點
等波紋帶通濾波器是以切比雪夫多項式為基礎進行設計的，由于帶通濾波器的頻率響應是低通原型的頻率響應經變換得到的，所以首先來考慮低通濾波器。
廣義切比雪夫低通原型的濾波函數PLR是一關于頻率ω的有理函數，PLR由它的零、極點及一個常數所決定。若用切比雪夫多項式設定N階低通原型的插入損耗響應，則可以得到濾波函數PLR為：