基于Matlab的FIR型希爾伯特變換器設計

摘要：在通信系統中，希爾伯特變換是被廣泛應用的重要變換。為了實現數字解調，通常需要借助希爾伯特變換器對信號進行分解，利用Matlab設計希爾伯特變換器是一種最為快捷、有效的方法。通過具體的設計、仿真及對原始信號和經過希爾伯特變換器輸出延遲信號的比較，說明Matlab是一個在濾波器設計方面很有力的工具。
關鍵詞：Matlab；Hilbert變換器；remez；FDATool工具

0 引言
通信系統中，經常需要對一個信號進行正交分解，即分解為同相分量和正交分量。由于希爾伯特變換可以提供90°的相位變化而不影響頻譜分量的幅度，即對信號進行希爾伯特變換就相當于對該信號進行正交移相，使它成為自身的正交對。因此，希爾伯特變換在通信領域獲得了廣泛應用。
在傳統的設計中，希爾伯特變換器可由一個FIR濾波器和一個時延模塊實現，也可由一組濾波器對實現，而實現FIR型希爾伯特變換器的一個簡單方法就是對原型低通濾波器作正弦／余弦變換。但是，無論哪種方法都需要通過計算對低通濾波器的系數進行轉換，其計算繁瑣且存在一定的誤差。Matlab作為濾波器設計的基礎軟件，不僅可以快速有效地實現希爾伯特變換器的設計、分析仿真和最優化，而且可以直接計算出希爾伯特變換器的系數，加之Matlab具有強大的接口功能，為后續的設計提供了方便。

1 希爾伯特變換器的基本原理
連續時間信號x(t)的希爾伯特變換定義為：

由式(1)可得單位沖擊響應h(t)=1／(πt)，由于jh(t)=j／(πt)的傅里葉變換是符號函數sgn(w)，所以希爾伯特變換器的頻率特性為：

信號x(t)的希爾伯特變換可以看成是信號x(t)通過一個幅度為1的全通濾波器輸出，信號通過希爾伯特變換器后，其負頻率成分作+90°的相移，而正頻率成分作-90°的相移。
這類濾波器要求濾波器的零頻響應為0，若濾波器階數為偶數，則還要求Nyquist頻率(歸一化頻率為1)處的響應為0。即如果濾波器的階數為偶數，那么增益在頻率為0 Hz和fs／2處必須降為零，希爾伯特濾波器必須是一個帶通濾波器。如果濾波器的階數為奇數，那么增益在頻率為0 Hz處必須降為零，希爾伯特濾波器必須是一個高通濾波器。

2 希爾伯特變換器的Matlab設計
2．1 直接程序法
Matlab信號處理工具箱提供了firls函數和remez函數，它們的調用格式語法規則相同，只是優化算法不同，函數firls利用最小二乘法使期望的頻率響應和實際的頻率響應間的誤差最小；函數remez實現Park-McClellan算法，這種算法利用remez交換算法和Che-byshev近似理論設計濾波器，使實際頻率響應擬合期望頻率響應達到最優。
函數調用格式為b=remez(n，f，m，‘h’)或b=firIs(n，f，m，‘h’)，其中，n為濾波器的階數；f為濾波器期望頻率特性的頻率向量標準化頻率，取值0～1，是遞增向量，允許定義重復頻點；m為濾波器期望頻率特性的幅值向量，向量m和f必須同長度且為偶數；b為函數返回的濾波器系數，長度為n+1，本文將采用remez函數法。
下面設計一個希爾伯特變換器，要求采樣頻率為2 000 Hz，通頻帶為50～950 Hz，濾波器階數為60階。實現程序如下：